Question

三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=AC=1，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°．若E為PC中點，則BE與平面PAC所成的角的大小等于

 

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間角

分析：先作PO⊥平面ABC，垂足為O，根據條件可證得點O為三角形ABC的外心，從而確定點O為AC的中點，然后證明BO是面PAC的垂線，從而得到∠BEO為BE與平面PAC所成的角，在直角三角形BOE中求解即可．

解答： 解：作PO⊥平面ABC，垂足為O
則∠POA=∠POB=∠POC=90°，
而PA=PB=PC，PO是△POA、△POB、△POC的公共邊
∴△POA≌△POB≌△POC
∴AO=BO=CO，則點O為三角形ABC的外心
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°
∴點O為AC的中點，則BO⊥AC
而PO⊥BO，PO∩AC=O
∴BO⊥平面PAC，連接OE
∴∠BEO為BE與平面PAC所成的角
∵點O為AC的中點，E為PC中點，PA=PB=PC=AC=1，ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°
∴OE為中位線，且OE=

1

2

，BO=

1

2

，
又∵∠BOE=90°
∴∠BEO=45°即BE與平面PAC所成的角的大小為45°
故答案為：45°．

點評：本題主要考查了三角形的外心的概念，以及直線與平面所成角和三角形全等等有關知識，同時考查了推理能力，屬于中檔題．