Question

【題目】已知四棱錐，，，，，，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）當時，求直線和平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，由條件可證明，，即證明平面；

（2）由條件可知，所以以C為原點，直線，，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，先求平面的法向量，利用公式求解.

解：（1）在中，由余弦定理，知，

將，，代入上式，計算得，故，

所以.

又平面，平面，

所以，

所以平面，

又平面，

故平面平面.

（2）由（1）知，，

故.

又平面，所以，，兩兩垂直，以C為原點，

直線，，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系：

依題意，，，，，

則，，

假設平面的一個法向量為，

由

得即

令，解得.

而，設直線和平面所成的角為，

則

即和平面所成角的正弦值為.