Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面平面，為中點，.

（1）求證：；

（2）若與平面所成的角為，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由面面垂直的性質定理可得出平面，可得出，由等腰三角形三線合一的性質可得出，由此可得出平面，進而得出；

（2）設，可得出，，由（1）可知，與平面所成的角為，可得，進而以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求出二面角的大小.

（1）四邊形為矩形，則，

平面平面，平面平面，平面，

所以面，平面，，

又，為中點，，

，平面，

平面，故；

（2）不妨設，由得，由（1）得，∴，∴，由（1）得平面，

由（1）知，在平面的射影為，即，

，故.

以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

易得、、、，,

，，，

設平面與平面的法向量分別為和，

則，

由，令，則，，，

，設二面角的大小為，則，所以二面角的大小