Question

【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，垂足為Q，點(diǎn)M是線段上的一點(diǎn)，且滿足

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)設(shè)直線與軌跡c交于兩點(diǎn)，T為C上異于的任意一點(diǎn)，直線，分別與直線交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）利用相關(guān)點(diǎn)法，設(shè)設(shè)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，從而得到，即．化簡求得結(jié)果；

（2）設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，將直線與曲線的方程聯(lián)立，消元得到，根據(jù)韋達(dá)定理得到 =， =，設(shè)點(diǎn)，寫出直線AT的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，如果以為直徑的圓過軸某一定點(diǎn)，則滿足，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.

（1）設(shè)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因?yàn)?/span>，

所以，

即 ，

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

所以，即．

所以點(diǎn)的軌跡的方程為．

（2）解法1：設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，，

由得．

由韋達(dá)定理得 =， =．

設(shè)點(diǎn)，則．

所以直線的方程為．

令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

如果以為直徑的圓過軸某一定點(diǎn)，則滿足．

因?yàn)?/span> ．

所以．

即，解得或．

故以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)和．

解法2：直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，

若取，則，與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，

所以以為直徑的圓的方程為．

該圓與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．

所以符合題意的定點(diǎn)只能是或．

設(shè)直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，，

由得．

由韋達(dá)定理得

設(shè)點(diǎn)，則．

所以直線的方程為．

令，得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

若點(diǎn)滿足要求，則滿足．

因?yàn)?/span>

．

所以點(diǎn)滿足題意．

同理可證點(diǎn)也滿足題意．

故以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)和．