Question

【題目】如圖,在三棱錐中,為等腰直角三角形,為等邊三角形,其中O為BC中點(diǎn),且.

(1)求證:平面平面PBC;

(2)若且平面EBC,其中E為AP上的點(diǎn),求CE與平面ABC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).

【解析】

（1）由題意可得,,利用線(xiàn)面垂直的判定定理證出平面PAO,從而得證.

（2）作PH垂直于平面ABC,垂足為H,由(1)知,點(diǎn)H在直線(xiàn)AO上,以A為原點(diǎn),AC為x軸,AB為y軸,以過(guò)A點(diǎn)與平面ABC垂直的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出以及平面ABC的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

(1) 證明:由題可知,,,且,

故平面PAO,又平面PBC,因此平面平面PBC.

(2)作PH垂直于平面ABC,垂足為H,由(1)知,點(diǎn)H在直線(xiàn)AO上.

如圖,以A為原點(diǎn),AC為x軸,AB為y軸,以過(guò)A點(diǎn)與平面ABC垂直的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得如下坐標(biāo):,,,,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,利用,,可得.從.

因?yàn)?/span>E為AP上的點(diǎn),故存在實(shí)數(shù),使得,點(diǎn)E坐標(biāo)可設(shè)為,

由平面EBC知,,得,

從而,取平面ABC的一個(gè)法向量.

設(shè)CE與平面ABC所成角的為,.

故CE與平面ABC所成角的正弦值為.