Question

【題目】已知函數，.

（1）若不等式對恒成立，求的最小值；

（2）證明：.

（3）設方程的實根為.令若存在，，，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）由題意可得，，令，利用導數得在上單調遞減，進而可得結論；

（2）不等式轉化為，令，，利用導數得單調性即可得到答案；

（3）由題意可得，進而可將不等式轉化為，再利用單調性可得，記，，再利用導數研究單調性可得在上單調遞增，即，即，即可得到結論.

（1），即，化簡可得.

令，，因為，所以，.

所以，在上單調遞減，.

所以的最小值為.

（2）要證，即.

兩邊同除以可得.

設，則.

在上，，所以在上單調遞減.

在上，，所以在上單調遞增，所以.

設，因為在上是減函數，所以.

所以，即.

（3）證明：方程在區間上的實根為，即，要證

，由可知，即要證.

當時，，，因而在上單調遞增.

當時，，，因而在上單調遞減.

因為，所以，要證.

即要證.

記，.

因為，所以，則.

.

設，，當時，.

時，，故.

且，故，因為，所以.

因此，即在上單調遞增.

所以，即.

故得證.