Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為線段上的點.

（I）證明：面

（Ⅱ）若是的中點，求與平面所成的角的正弦值;

（Ⅲ）若滿足面，求二面角正弦值.

Answer 1

【答案】（I）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（I）根據平面幾何知識得,由平面得，再根據線面垂直判定定理得結論，（II）建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據垂直關系得平面一個法向量，利用向量數量積得向量與法向量夾角，最后根據線面角與向量夾角關系得結果，（Ⅲ）建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據線面垂直確定G點坐標，列方程組解得平面一個法向量，利用向量數量積得兩法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果.

（I）取中點,因為，，

所以

因為平面,平面所以，

因為平面,平面,,

所以面

（II）以為坐標原點，,平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則因為,，所以,因為，所以,

因此

從而為平面一個法向量，

因此與平面所成的角的正弦值為.

（Ⅲ）同（II）建立空間直角坐標系，設,

因為面，

所以

因為為平面一個法向量，

設為平面的法向量，

則由得

所以

因此二面角正弦值為