Question

【題目】函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，方程在區間內有唯一實數解，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 或

【解析】

（1）先求得函數的導函數和定義域，對分成等種情況，分類討論函數的單調性.（2）將分離常數化為，構造函數，利用導數求得的單調性和最值，由此求得的取值范圍.

（1），

（i）當時，，令,得，令,得，

函數在上單調遞增，上單調遞減；

（ii）當時，令，得,

令,得，令,得，

函數在和上單調遞增，上單調遞減；

（iii）當時，，函數f(x)在上單調遞增；

（iv）當時，

令,得，令,得

函數在和上單調遞增，上單調遞減；

綜上所述：當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；

當時，函數的單調遞增區間為；

當時，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為

（2）當時，，由，得，

又，所以，要使方程在區間上有唯一實數解，

只需有唯一實數解，

令，∴，

由得；得，

∴在區間上是增函數，在區間上是減函數.

，，，故或