Question

【題目】已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過作垂直于軸的直線交該橢圓于，兩點(diǎn)，直線的斜率為.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若的外接圓在處的切線與橢圓交另一點(diǎn)于，且的面積為，求橢圓的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先求出左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為的坐標(biāo)，由題意求出的坐標(biāo)，由斜率公式，根據(jù)直線的斜率為，這樣可以求出橢圓的離心率；

（Ⅱ）由（Ⅰ）,可設(shè)出，設(shè)的外接圓的圓心坐標(biāo)為，由，得，求得，求得切線方程，代入橢圓方程，求出,利用點(diǎn)到直線距離和三角形面積公式，代入可求出，求出的值，求得橢圓方程.

（Ⅰ）由題意可知：，設(shè)，由題意可知：M在第一象限，且，

，，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）, ，所以橢圓方程為：

，設(shè)的外接圓的圓心坐標(biāo)為，由，得，求得，，切線斜率為：，切線直線方程為，即代入橢圓方程中,得，，，

，

到直線的距離，的面積為，所以有

，，橢圓方程為：.