Question

【題目】已知函數(shù)

（1）試確定在上的單調(diào)性；

（2）若，函數(shù)在（0,2）上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）

【解析】(1)對(duì)已知函數(shù)f(x)求導(dǎo)得，f′(x)＝.

由1－lnx＝0，得x＝e.

∴當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，

∴函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，在[e，＋∞)上單調(diào)遞減．

(2)由h(x)＝xf(x)－x－ax2，

可得h(x)＝lnx－x－ax2，

則h′(x)＝－1－2ax＝.

h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有極值的充要條件是φ(x)＝－2ax2－x＋1在(0,2)上有零點(diǎn)，

∴φ(0)·φ(2)<0，解得a>－.

綜上所述，a的取值范圍是(0，＋∞)．