Question

【題目】四棱錐的底面ABCD為直角梯形，，，，為正三角形．

Ⅰ點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)，若平面SDM，，求實(shí)數(shù)的值；

Ⅱ若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

Ⅰ推導(dǎo)出，，從而四邊形BCDM為平行四邊形，由，得M為AB的中點(diǎn)由此能求出Ⅱ在平面SCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)S作直線(xiàn)CD于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)?/span>x軸，EC方向?yàn)?/span>y軸，ES方向?yàn)?/span>z軸建立空間坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

Ⅰ平面平面ABCD，

平面平面，，

，四邊形BCDM為平行四邊形，

又，為AB的中點(diǎn)．

，．

Ⅱ，，平面SCD，

又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，

在平面SCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)S作直線(xiàn)CD于點(diǎn)E，

則平面ABCD，在和中，

，，

又由題知，，，

以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA方向?yàn)?/span>x軸，EC方向?yàn)?/span>y軸，ES方向?yàn)?/span>z軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系，

則0，，0，，0，，2，，2，，

0，，2，，2，，0，，

設(shè)平面SAB的法向量y，，

則，令，得0，，

同理得1，為平面SBC的一個(gè)法向量，，

二面角為鈍角，二面角的余弦值為．