Question

【題目】如圖為某大河的一段支流，岸線近似滿足∥寬度為7圓為河中的一個半徑為2的小島，小鎮位于岸線上，且滿足岸線現計劃建造一條自小鎮經小島至對岸的通道（圖中粗線部分折線段，在右側），為保護小島，段設計成與圓相切，設

（1）試將通道的長表示成的函數，并指出其定義域.

（2）求通道的最短長.

Answer 1

【答案】（1）(2)

【解析】

(1) 過點作于點，以為原點，建立如圖所示的直角坐標系，先求出，

再求出，即可求出，再求函數的定義域.(2)利用導數求函數的最小值,即得通道ABC的最短長．

(1)過點作于點，

因為與的距離為，

所以，

以為原點，建立如圖所示的直角坐標系，

因為，所以設，

則直線的方程為，即

因為與圓相切，圓的半徑為，

所以，

因為，所以，

即，

所以，

由于，所以，

令，

則因為函數在上單調遞減，所以，

即函數的定義域為.

(2

令，得，則，其中，且.

由，得，

		0	+
		極小值

所以當時，，

即通道的最短長為.