Question

【題目】已知數列滿足，（）．

（Ⅰ）證明數列為等差數列，并求的通項公式；

（Ⅱ）設數列的前項和為，若數列滿足，且對任意的恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）通過對（n+1）an+1﹣（n+2）an=2變形、裂項可知﹣=2（﹣），進而利用累加法、并項相加，計算即得結論；

（Ⅱ）通過（I）可知bn=n，通過令f（x）=x，求導可知函數f（x）先增后減，進而計算可得結論．

∵（n+1）an+1﹣（n+2）an=2，

∴﹣==2（﹣），

又∵=1，

∴當n≥2時，=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

=1+2（﹣+﹣+…+﹣）

=，

又∵=1滿足上式，

∴=，即an=2n，

∴數列{an}是首項、公差均為2的等差數列；

（Ⅱ）解：由（I）可知==n+1，

∴bn=n=n，

令f（x）=x，則f′（x）=+xln，

令f′（x）=0，即1+xln=0，解得：x0≈4.95，

則f（x）在(0, x0)上單調遞增，在(x0,+單調遞減.

∴0＜f（x）≤max{f（4），f（5），f（6）}，

又∵b5=5=，b4=4=﹣，b6=6=﹣，

∴M的最小值為．