Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn).

（1）若圓心到直線(xiàn)的距離為，求的值；

（2）求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由圓的參數(shù)方程消去參數(shù)得到圓的普通方程，由題意設(shè)直線(xiàn)的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求出結(jié)果；

（2）由題意，設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理寫(xiě)出點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果.

解：（1）由題知，圓的普通方程為，

即圓的圓心為，半徑.

依題可設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的方程為，即，

設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為，

則，

解得.

（2）設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，代入圓：，

得.

設(shè)，，對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，，則，

所以，.

又點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足，

所以點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為，即 ，

化為普通方程為.