Question

【題目】如圖，數軸x、y的交點為O，夾角為，與x軸、y軸正向同向的單位向量分別是，，由平面向量基本定理，對于平面內的任一向量，存在唯一的有序實數對，使得，我們把叫做點P在斜坐標系xOy中的坐標（以下各點的坐標都指在斜坐標系xOy中的坐標）

（1）若，為單位向量，且與的夾角為120°，求點P的坐標；

（2）若，點P的坐標為，求向量與的夾角；

（3）若，直線l經過點，求原點O到直線l的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設出點的坐標，結合為單位向量，且與的夾角為120°，列等式求解即可；

（2）由題意求出，的值，再結合向量的夾角公式求解即可；

（3）由題意得到點A在直角坐標系下的坐標，再由兩點的距離公式求解即可.

解：（1）當，為單位向量，且與的夾角為120°，

設,則，且，

即，代入運算可得，即；

（2）若，點P的坐標為，則,

則，

即，

又，

設向量與向量的夾角為，則，

即向量與的夾角為；

（3）當，直線l經過點，設點A在直角坐標系的坐標為，由題意可得，即點A在直角坐標系的坐標為，

又因為直線l經過點，

則原點O到直線l的距離取最大值時，直線l與垂直，且交于點，

即原點O到直線l的距離的最大值為.