Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；

（2）討論函數的單調性；

（3）當時，若方程有兩個不相等的實數根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，在上是減函數；當時，在上是增函數；（3）證明見解析.

【解析】

（1）當時，，求得其導函數 ，，可求得函數的圖象在處的切線方程；

（2）由已知得，得出導函數，并得出導函數取得正負的區間，可得出函數的單調性；

（3）當時，，，由（2）得的單調區間，以當方程有兩個不相等的實數根，不妨設，且有，，構造函數，分析其導函數的正負得出函數的單調性，得出其最值，所證的不等式可得證.

（1）當時，，

所以 ，，

所以函數的圖象在處的切線方程為，即；

（2）由已知得，，令，得，

所以當時，，當時，，

所以在上是減函數，在上是增函數；

（3）當時，，，由（2）得在上單調遞減，在單調遞增，

所以，且時，，當時，，，

所以當方程有兩個不相等的實數根，不妨設，且有，，

構造函數，則，

當時，所以，

在上單調遞減，且，，

由 ，在上單調遞增，

.

所以.