Question

【題目】在學習強國活動中，某市圖書館的科技類圖書和時政類圖書是市民借閱的熱門圖書.為了豐富圖書資源，現對已借閱了科技類圖書的市民（以下簡稱為“問卷市民”）進行隨機問卷調查，若不借閱時政類圖書記1分，若借閱時政類圖書記2分，每位市民選擇是否借閱時政類圖書的概率均為，市民之間選擇意愿相互獨立.

（1）從問卷市民中隨機抽取4人，記總得分為隨機變量，求的分布列和數學期望；

（2）（i）若從問卷市民中隨機抽取人，記總分恰為分的概率為，求數列的前10項和；

（ⅱ）在對所有問卷市民進行隨機問卷調查過程中，記已調查過的累計得分恰為分的概率為（比如：表示累計得分為1分的概率，表示累計得分為2分的概率，），試探求與之間的關系，并求數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，6；（2）（i）；（ⅱ），.

【解析】

（1）獨立重復試驗，列出隨機變量可能取值為4，5，6，7，8，再求出各可能值的概率可解得.

（2）（i）總分恰為分的概率是等比數列，用基本量計算.

（2）（ⅱ）遞推數列化為等比數列求解.

（1）的可能取值為4，5，6，7，8，

，

所有的分布列為

	4	5	6	7	8

所以數學期望.

（2）（i）總分恰為分的概率為，

所以數列是首項為，公比為的等比數列，

前10項和.

（ii）已調查過的累計得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得2分，概率為.

因為，即，

所以，

則是首項為，公比為的等比數列，

所以，

所以.