Question

觀察下列等式：
（1+1）=2×1
（2+1）（2+2）=2²×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）=2³×1×3×5
…
照以上式子規律：
（1）寫出第4個等式，并猜想第n個等式；（n∈N^*）
（2）用數學歸納法證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N^*）

Answer 1

考點：數學歸納法,歸納推理

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）利用已知條件，觀察規律寫出第4個等式，并猜想第n個等式；（n∈N^*）
（2）用數學歸納法的證明步驟證明上述所猜想的第n個等式成立．（n∈N^*）

解答： 解：（1）（1+1）=2×1，
（2+1）（2+2）=2²×1×3，
（3+1）（3+2）（3+3）=2³×1×3×5，
第4個等式，（4+1）（4+2）（4+3）（4+4）=2⁴×1×3×5×7；
猜想第n個等式：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）（n∈N^*）
（2）①當n=1時，左邊=（1+1）=2，右邊=2×1=2等式成立； 
②假設當n=k時，原式成立，即：（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2^k×1×3×5×…×（2k-1）（k∈N^*）
那么，當n=k+1時，左邊=：（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1）
=

[(k+1)(k+2)(k+3)…(k+1+k-1)](k+1+k)(k+1+k+1)

k+1

=

2k×1×3×5×…×(2k-1)(2k+1)(2k+2)

k+1

=2^k+1×1×3×5×…×（2k+1）=右邊，
故n=k+1時，等式也成立．
由①②知：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ×1×3×5×…×（2n-1）（n∈N^*） 成立．

點評：本題考查數學歸納法證明猜想成立，注意證明步驟的應用，缺一不可．