Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中點．
（Ⅰ）證明：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）求三棱錐Q-BAD的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）連接AC交BD于O，再連接OE，根據中位線定理可得到PC∥OE，再由線面平行的判定定理可證明PC∥OE，得證．
（II）先根據PA⊥平面ABCD確定QA為棱錐Q-BAD的高，進而根據棱錐的體積公式可求出四棱錐Q-BAD的體積．

解答： 證明：（I）連接AC交BD于O，連接OE．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴O是AC的中點．
又∵E是PA的中點，
∴PC∥OE．
∵PC?平面BDE，OE?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…（6分）
（II）∵側棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，Q是PA的中點．
∴棱錐Q-BAD的高QA=1，
又∵底面ABCD是邊長為2的正方形，
∴棱錐Q-BAD的底面面積S_△BAD=2，
∴VQ-BAD=

1

3

×S△BAD×QA=

1

3

×2×1=

2

3

．…（13分）

點評：本題主要考查棱錐的體積公式和線面平行的判定定理的應用．考查對定理的掌握情況和對基礎知識的綜合運用．