Question

在直角坐標(biāo)系中，角φ，2x的終邊分別與單位圓（以原點(diǎn)O為圓心）交于A、B兩點(diǎn)，函數(shù)f（x）=

OA

•

OB

，若f（x）≤f（

π

6

）對(duì)任意x∈R恒成立
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期，對(duì)稱軸方程與單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題

分析：（1）先求得A，B坐標(biāo)，再利用利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合f（x）≤f（

π

6

）對(duì)x∈R恒成立，確定函數(shù)的解析式；
（2）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期，對(duì)稱軸方程與單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵角φ、2x的終邊分別與單位圓（以原點(diǎn)O為圓心）交于A、B兩點(diǎn)，
可得A（cosφ，sinφ），B（cos2x，sin2x）
∴f（x）=

OA

•

OB

，=cosφcos2x+sinφsin2x=cos（2x-φ）
∵f（x）≤f（

π

6

）對(duì)x∈R恒成立，
∴f（

π

6

）=1，即cos（2×

π

6

-φ）=1
∴φ-

π

3

=2kπ
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z
∴f（x）=cos[2x-（2kπ+

π

3

）]=cos（2x-

π

3

），
即函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=cos（2x-

π

3

）．
（2）由（1）知，f（x）=cos（2x-

π

3

）．
最小正周期T=π．
令2x-

π

3

=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的對(duì)稱軸為x=x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
由2kπ-π≤2x-

π

3

≤2kπ，得kπ-

4π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

4π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)性質(zhì)，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題