Question

如圖，三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，它的三視圖如圖所示，求該棱錐的：
（Ⅰ）全面積；
（Ⅱ）內切球體積；
（Ⅲ）外接球表面積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積,由三視圖求面積、體積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）三棱錐的直觀圖中，側面PAC與平面ABC垂直，為等腰三角形，底邊長為6

2

，高為4，側面PAB，PBC為等腰三角形，底邊長為6，高為5，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=6，故可求全面積；
（Ⅱ）利用等體積求出內切球半徑，即可內切球體積；
（Ⅲ）求出外接球的半徑，即可求出外接球表面積．

解答： 解：（Ⅰ）三棱錐的直觀圖中，側面PAC與平面ABC垂直，為等腰三角形，底邊長為6

2

，高為4，
側面PAB，PBC為等腰三角形，底邊長為6，高為5，底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=6，
所以全面積為

1

2

×6×6+

1

2

×6

2

×4+2×

1

2

×6×5=48+12

2

；
（Ⅱ）設內切球半徑為r，則

1

3

×

1

2

×6×6×4=

1

3

×（48+12

2

）r，
所以r=

3(4- 2 )

7

，所以內切球體積為

36(4- 2 )3π

343

；
（Ⅲ）設外接球的半徑為R，則R²=（3

2

）²+（R-4）²，
所以R=

17

4

所以外接球表面積為4πR²=

289π

4

．

點評：本題考查由三視圖求面積、體積，考查學生分析解決問題的能力，確定三棱錐的直觀圖是關鍵．