Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左右頂點分別是，為直線上一點（點在軸的上方），直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.

（1）若的面積是的面積的，求直線的方程；

（2）設直線與直線的斜率分別為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由的面積是的面積的，可知C是AP的中點，利用點C在橢圓上明確P點坐標，從而得到直線的方程；（2）直線PB的方程為代入橢圓方程可得：，利用韋達定理可得M點坐標，進而可知為定值.

（1）由O為線段AB的中點可知：B到直線AP的距離是O到直線AP的距離的兩倍，

又的面積是的面積的，所以C是AP的中點.

設P（t＞0），又A則

∵C點在橢圓上

∴

∴，即P

∴直線的方程：

即直線的方程為

（2）直線PB的方程為：，即

代入橢圓方程可得：，

則，又

∴，

∴，而

∴

即為定值.