Question

【題目】已知中心在原點，焦點在軸上，離心率為的橢圓過點.

（1）求橢圓方程；

（2）設不過原點O的直線，與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率依次為，滿足，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據題意列出方程組：解出即可；（2）聯立直線和橢圓得到方程：(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，4k＝k1＋k2＝，由韋達定理得到表達式，進而得到結果.

(1)設橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，則由題意得解得a＝2，b＝1，

∴橢圓的方程為＋y2＝1.

(2)由得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

令Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，得m2<4k2＋1(*)，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝，

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴k1＝，k2＝，

則4k＝k1＋k2＝＋＝＝＝2k－，

∴m2＝，滿足(*)式，故m2＝.