Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，側面PAB為等邊三角形，側棱 ．
（Ⅰ）求證：PC⊥AB；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅲ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設AB中點為D，連接PD，CD，

因為AP=BP，所以PD⊥AB．

又AC=BC，所以CD⊥AB．

因為PD∩CD=D，所以AB⊥平面PCD．

因為PC平面PCD，所以PC⊥AB．

（Ⅱ）由已知∠ACB=90°，AC=BC=2，

所以 ， ．

又△PAB為正三角形，且PD⊥AB，所以 ．

因為 ，所以PC2=CD2+PD2．

所以∠CDP=90°．

由（Ⅰ）知∠CDP是二面角P﹣AB﹣C的平面角．

所以平面PAB⊥平面ABC．

（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）知CD⊥平面PAB．

過D作DE⊥PA于E，連接CE，則CE⊥PA．

所以∠DEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．

在Rt△CDE中，易求得 ．

因為 ，所以 ．

所以 ．

即二面角B﹣AP﹣C的余弦值為 ．

方法2：由（Ⅰ）（Ⅱ）知DC，DB，DP兩兩垂直．

以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系．

易知D（0，0，0）， ， ， ．所以 ， ．

設平面PAC的法向量為n=（x，y，z），

則 即

令x=1，則y=﹣1， ．

所以平面PAC的一個法向量為 ．

易知平面PAB的一個法向量為 ．

所以 ．

由圖可知，二面角B﹣AP﹣C為銳角．

所以二面角B﹣AP﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意，證明PC⊥AB可通過證明AB⊥平面PCD，用線面垂直證線線垂直；（II）要證明兩個平面垂直，可以證明兩個平面所成的二面角是直角，根據三邊長滿足勾股定理得到直角，得到結論．（III）方法一：過D作DE⊥PA于E，接CE，則CE⊥PA．所以∠DEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，在三角形中求角即可；方法二：（空間向量法）以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，給出各點的坐標，建立方程求出兩個平面的法向量，用公式求出二面角的余弦值，
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．