Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣x2+2a+b（x∈R）的圖象在x=0處的切線為y=bx．（e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）+ （3x2﹣5x﹣2k）≥0對任意x∈R恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】解：（I）f′（x）=ex﹣2x，f′（0）=1=b，f（0）=1+2a+b=0，

聯立解得b=1，a=﹣1．

（II）由（I）可得：f（x）=e2﹣x2﹣1．

f（x）+ （3x2﹣5x﹣2k）≥0對任意x∈R恒成立k≤ex+ ﹣ x﹣1對x∈R恒成立．

令h（x）=ex+ ﹣ x﹣1，h′（x）=ex+x﹣ ，h″（x）=ex+1＞0恒成立．

∴h′（x）在R上單調遞增．

h′（0）= ＜0，h′（1）= ＞0， = ＜0， = ﹣ ﹣ =0．

∴存在唯一零點x0∈ ，使得h′（x0）=0，

當x∈（﹣∞，x0）時，h′（x0）＜0，函數h（x）在（﹣∞，x0）單調遞減；當x∈（x0，+∞）時，h′（x0）＞0，函數h（x）在（x0，+∞）上單調遞增．

∴h（x）min=h（x0）= + ﹣ ﹣1，又h′（x0）= +x0﹣ =0，∴ = ﹣x0，

∴h（x0）= ﹣x0+ ﹣ ﹣1= ，

∵x0∈ ，∴h（x0）∈ ．

又k≤ex+ ﹣ x﹣1對x∈R恒成立k≤h（x0），k∈Z．

∴k的最大值為﹣1

【解析】（I）f′（x）=ex﹣2x，f′（0）=1=b，f（0）=1+2a+b=0，聯立解得b，a．（II）由（I）可得：f（x）=e2﹣x2﹣1．f（x）+ （3x2﹣5x﹣2k）≥0對任意x∈R恒成立k≤ex+ ﹣ x﹣1對x∈R恒成立．令h（x）=ex+ ﹣ x﹣1，h′（x）=ex+x﹣ ，h″（x）=ex+1＞0恒成立．可得h′（x）在R上單調遞增．h′（0）＜0，h′（1）＞0， ＜0， ＞0．可得存在唯一零點x0∈ ，使得h′（x0）=0，利用單調性可得：h（x）min=h（x0）= + ﹣ ﹣1，進而得出結論．