Question

【題目】已知函數f（x）= （x＞0），m∈R．
（1）若函數f（x）有零點，求實數m的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在點（1，f（x））處的切線的斜率為 ，且函數f（x）的最大值為M，求證：1＜M＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：若函數f（x）有零點，

則f（x）=0有解，

即m +lnx=0有解，

即有﹣m= ，

由g（x）= 的導數為g′（x）= ，

當x＞e2時，g′（x）＜0，g（x）遞減；

當0＜x＜e2時，g′（x）＞0，g（x）遞增．

可得g（x）在x=e2時，取得極大值，且為最大值 ，

可得﹣m＞ ，解得m＜﹣ ，

則實數m的取值范圍為（﹣∞，﹣ ）

（2）證明：函數f（x）= （x＞0）的導數為f′（x）= ，

可得f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1﹣ = ，

解得m=1，

即有f（x）= 的導數為f′（x）= ，

令f′（x）=0，可得lnx+ =1，

設方程的解為t，由h（x）=lnx+ ﹣1遞增，且h（1）﹣1=﹣ ＜0，h（ ）=ln + ﹣1＞0，

可得1＜t＜ ，且lnt+ =1，

即有f（x）的最大值為f（t）= =

= + =（ + ）2﹣ ，

可得f（t）在（1， ）遞減，

f（1）= ，f（ ）= + ＞1，

即有f（t）∈（f（ ），f（1）），

則有1＜M＜

【解析】（1）由題意可得f（x）=0有解，即m +lnx=0有解，即有﹣m= ，設g（x）= ，求得導數和單調區間，可得極大值，且為最大值，即可得到m的范圍；（2）求出f（x）的導數，求得切線的斜率，可得m=1，再令f′（x）=0，設出極大值點，也即最大值點，運用函數零點存在定理，可得t的范圍，化簡整理由二次函數的單調性，即可得證．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．