Question

【題目】已知點A（0，﹣2），橢圓E： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，F是橢圓的焦點，直線AF的斜率為 ，O為坐標原點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 設F（c，0），由條件知 ，得 又 ，

所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程 ．

（Ⅱ）依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）

將y=kx﹣2代入 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

當△=16（4k2﹣3）＞0，即 時，

從而

又點O到直線PQ的距離 ，所以△OPQ的面積 = ，

設 ，則t＞0， ，

當且僅當t=2，k=± 等號成立，且滿足△＞0，

所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y= x﹣2或y=﹣ x﹣2

【解析】（Ⅰ）通過離心率得到a、c關系，通過A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入 ，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．