Question

【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都相等，D，E分別是AB，A1C1的中點，如圖所示．
（1）求證：DE∥平面BCC1B1；
（2）求DE與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AC的中點F，連結EF，DF，

∵D，E，F分別是AB，A1C1，AC的中點，

∴EF∥CC1，DF∥BC，又DF∩EF=F，AC∩CC1=C，

∴平面DEF∥平面BCC1B1，

又DE平面DEF，

∴DE∥平面BCC1B1．

（2）解：∵EF∥CC1，CC1⊥平面BCC1B1．

∴EF⊥平面BCC1B1，

∴∠EDF是DE與平面ABC所成的角，

設三棱柱的棱長為1，則DF= ，EF=1，

∴tan∠EDF= ．

【解析】（1）取AC的中點F，連結EF，DF，則EF∥CC1，DF∥BC，故平面DEF∥平面BCC1B1，于是DE∥平面BCC1B1．（2）在Rt△DEF中求出tan∠EDF．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．