Question

【題目】已知函數 的圖象上存在不同的兩點 ,使得曲線 在這兩點處的切線重合，則實數 的取值范圍是 （ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】 當 時， 的導數為 ； 當 時， 的導數為 ， 設 ， 為該函數圖象上的兩點，且 ， 當 ，或 時， ，故 ， 當 時，函數 在點 處的切線方程為 ； 當 時，函數 在點 處的切線方程為 ． 兩直線重合的充要條件是 ①， ②， 由①及 得 ，由①②得 ， 令 ，則 ，且
，

則 ，結合三次函數的性質可知，

在 時恒成立，故 單調遞增，即 ，

即 ，可得函數 的圖象在點 、 處的切線重合， 的取值范圍是 ，故答案為：A.

先根據導數的幾何意義分別求出分段函數f(x) 在A、B處的切線方程，再利用兩條直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等列出關系式，從而得出a的代數式，整理后再構造 h(x)對其求導并利用導函數的性質得到 h(x)的單調性和最值，進而得出a的取值范圍。