Question

【題目】已知平面內點到點的距離和到直線的距離之比為，若動點P的軌跡為曲線C．

（I）求曲線C的方程；

（II）過F的直線與C交于A，B兩點，點M的坐標為設O為坐標原點.證明：．

Answer 1

【答案】（I）（II）見解析

【解析】

（I）根據題目點到點的距離和到直線的距離之比為，列出相應的等式方程，化簡可得軌跡C的方程；

（II）對直線分軸、l與x軸重合以及l存在斜率且斜率不為零三種情況進行分析，當l存在斜率且斜率不為零時，利用點斜式設直線方程，與曲線C的方程進行聯立，結合韋達定理，可推得，從而推出。

解：（I）∵到點的距離和到直線的距離之比為.

∴，.

化簡得：．

故所求曲線C的方程為：.

（II）分三種情況討論：

1、當軸時，由橢圓對稱性易知：．

2、當l與x軸重合時，由直線與橢圓位置關系知：

3、設l為：，，且，，

由化簡得：，

∴，

設MA,MB，所在直線斜率分別為：，，則

此時，．

綜上所述：.