Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n≠±1，a₁=

1

2

，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），b_n=1-a_n²，c_n=a_n+1²-a_n²（n∈N^*），
（1）證明數(shù)列{b_n}是的等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}、{c_n}的通項公式．
（2）是否存在數(shù)列{c_n}的不同項c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）使之成為的等差數(shù)列？若存在，請求出這樣不同項c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在最小的自然數(shù)M，對一切n∈N^*都有（n-2）c_n＜M恒成立？若存在，求出M的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出

bn+1

bn

=

1-an+12

1-an2

=

2

3

，由此證明{b_n}是以

3

4

為首項，

2

3

為公比的等比數(shù)列，從而得到bn=

3

4

×(

2

3

)n-1，an2=1-bn=1-

3

4

×(

2

3

 )n-1，c_n=an+12-an2=

3

4

×(

2

3

)n-1，n∈N^*．
（2）假設(shè)存在c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）滿足題意，則有2c_j=c_i+c_k，由此推導出2^j-i+1-2^k+j-i=3^j-1，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)不可能相等．所以假設(shè)不存在，這樣的三項不存在．
（3）（n-2）c_n-（n-1）c_n+1=

1

4

×(

2

3

)n-1×

n-4

3

，由此推導出在數(shù)列{（n-2）c_n}中，第4項和第5項是最大項，存在最小自然數(shù)M=1符合題意．

解答： 解：（1）因為a_n≠±1，a1=

1

2

，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），bn=1-an2，
所以

bn+1

bn

=

1-an+12

1-an2

=

2

3

，n∈N^*，b1=1-a12=

3

4

，
所以{b_n}是以

3

4

為首項，

2

3

為公比的等比數(shù)列，
所以bn=

3

4

×(

2

3

)n-1，n∈N^*，
所以an2=1-bn=1-

3

4

×(

2

3

 )n-1，n∈N^*，
所以c_n=an+12-an2=

3

4

×(

2

3

)n-1，n∈N^*．…（6分）
（2）假設(shè)存在c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）滿足題意，則有2c_j=c_i+c_k，
代入得2×

1

4

×(

2

3

)i-1+

1

4

×(

2

3

)k-1，化簡得2^j-i+1=3^i-1+2^k+j-i，
即2^j-i+1-2^k+j-i=3^j-1，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)不可能相等．
所以假設(shè)不存在，這樣的三項不存在．  …（12分）
（3）（n-2）c_n-（n-1）c_n+1=

1

4

×(

2

3

)n-1×

n-4

3

，
（1-2）c₁＜（2-2）c₂＜（3-2）c₃＜（4-2）c₄，
（4-2）c₄=（5-2）c₅，（5-2）c₅＞（6-2）c₆＞（7-2）c₇＞…
即在數(shù)列{（n-2）c_n}中，第4項和第5項是最大項，
當n=4時（n-2）c_n=2×

1

4

×(

2

3

)3=

4

27

，
所以存在最小自然數(shù)M=1符合題意．  …（16分）

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的等差數(shù)列是否存在的判斷與求法，考查滿足條件的最小自然數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，是中檔題．