Question

過點(diǎn)M（-1，2）的直線l：x+y-1=0與拋物線y=x²交于A、B兩點(diǎn)；
（Ⅰ）求線段AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線l的參數(shù)方程，代入拋物線方程，利用參數(shù)的幾何意義，即可求線段AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）利用參數(shù)的幾何意義，即可求點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答： 解：（Ⅰ）點(diǎn)M（-1，2）在直線l上，直線l的傾斜角為

3π

4

，
所以直線l的參數(shù)方程為

x=-1+tcos 3π 4 y=2+tsin 3π 4

(t為參數(shù))，即

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

(t為參數(shù))，
代入拋物線方程，得t2+

2

t-2=0，
設(shè)該方程的兩個(gè)根為t₁、t₂，則t1+t2=-

2

，t₁•t₂=-2
所以弦長(zhǎng)為 |AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(10 2 )2-4×18

=8

2

=

10

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，t₁•t₂=-2，
∴利用參數(shù)的幾何意義，可得|MA|•|MB|=|t₁t₂|=|-2|=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，正確運(yùn)用參數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵．