Question

已知f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=x²-2x+k有實數解，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）當n∈N^*，n≥2時，求證：nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=-

lnx

x2

，從而得函數f（x）在區間（0，1）上為增函數；在區間（1，+∞）為減函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的極大值為f（1）=1，令g（x）=x²-2x+k，得函數 g（x）取得最小值g（1）=k-1，由g（x）=x²-2x+k有實數解，k-1≤1，進而得實數k的取值范圍．
（Ⅲ）由f（1+

1

n

）＜f（1）=1，得1+ln（1+

1

n

）＜1+

1

n

，從而lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn=ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，即1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=-

lnx

x2

，
∴當x∈（0，1）時，f′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，f′x）＜0；
∴函數f（x）在區間（0，1）上為增函數；在區間（1，+∞）為減函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）的極大值為f（1）=1，
令g（x）=x²-2x+k，
所以當x=1時，函數 g（x）取得最小值g（1）=k-1，
又因為方程g（x）=x²-2x+k有實數解，那么k-1≤1，即k≤2，
所以實數k的取值范圍是：k≤2．
（Ⅲ）∵函數f（x）在區間（1，+∞）為減函數，
而1+

1

n

＞1，（n∈N^*，n≥2），
∴f（1+

1

n

）＜f（1）=1，
∴1+ln（1+

1

n

）＜1+

1

n

，
即ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
即1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
而n•f（n）=1+lnn，
∴nf（n）＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

結論成立．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，導數的應用，不等式的證明，是一道綜合題．