Question

【題目】已知數列｛｝的前n項和為Sn，，且對任意的n∈N*，n≥2都有。

（1）若0，，求r的值；

（2）數列｛｝能否是等比數列？說明理由；

（3）當r＝1時，求證：數列｛｝是等差數列。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）不可能是等比數列；（3）詳見解析.

【解析】

（1）令，得到，再將和用項來表示，再結合條件，求得結果；

（2）假設其為等比數列，利用，結合，得到關于的方程，求解得出或，將其回代檢驗得出答案；

（3）將r＝1代入上式，類比著寫出，兩式相減得到，進一步湊成，結合，從而證得數列是以為首項，2為公差的等差數列.

（1）令n＝2，得：，

即：，

化簡，得：，因為，，，

所以，，解得：r＝1.

（2）假設是等比數列，公比為，則，且，

解得或，

由，

可得，

所以，

兩式相減，整理得，

兩邊同除以，可得，

因為，所以，

所以上式不可能對任意恒成立，故不可能是等比數列.

（3）時，令，整理得，

又由可知，

令，可得，解得，

由（2）可知，

所以，

兩式相減，整理得，

所以，

兩式相減，可得，

因為，所以，

即，又因為，

所以數列是以為首項，2為公差的等差數列.