Question

【題目】已知函數（，且）在上單調遞增，且關于的方程恰有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題意首先求得a的取值范圍，然后結合函數的解析式將原問題轉化為兩函數圖像存在兩個交點的問題，數形結合即可確定a的取值范圍.

由函數的解析式可知函數在區間上單調遞增，

當時，函數單調遞減，由復合函數的單調性法則可知：，

且函數在處滿足：，解得：，故，

方程恰有兩個不相等的實數解，則函數與函數的圖像有且僅有兩個不同的交點，

繪制函數的圖像如圖中虛線所示，

令可得：，

由可知，，

則直線與函數的圖像在區間上存在唯一的交點，

原問題轉化為函數與二次函數在區間上存在唯一的交點，

很明顯當，即時滿足題意，

當直線與二次函數相切時，設切點坐標為，亦即，

由函數的解析式可得：，故：，則，

切點坐標為，從而：，即.

據此可得：的取值范圍是.

故選：D.