Question

如圖，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，點E，F分別是BC，PB的中點．
（Ⅰ）求三棱錐P-ADE的體積；
（Ⅱ）求證：AF⊥平面PBC；
（Ⅲ）若點M為線段AD中點，求證：PM∥平面AEF．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）PA為三棱錐P-ADE的高，代人三棱錐體積公式計算；（Ⅱ）線面垂直的判定，BC⊥AF，PB⊥AF，∴AF⊥平面PBC；（Ⅲ）線面平行的判定，PM∥FN，∵PM?面AEF，NF?面AEF，∴PM∥平面AEF．

解答：  （Ⅰ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA為三棱錐P-ADE的高，…2
S△ADE=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∴V_P-ADE=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

，…4
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴PM∥FN∵AF?面PAB，∴BC⊥AF，…6
∵PA=AB，F是PB的中點，
∴PB⊥AF，又BC∩PB=B，
∴AF⊥平面PBC；…8
（Ⅲ）證明：連接BM交AE于N，連接PM、FN，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且AD=BC，
又M、E分別為AD、BC的中點，∴四邊形AMEB是平行四邊形，
∴N為BM中點，又∵F是PB的中點，
∴PM∥FN，∵PM?面AEF，NF?面AEF，
∴PM∥平面AEF．

點評：本題考查棱錐的體積，線面垂直，線面平行，掌握空間線面位置關系的判定及性質是關鍵．