Question

設d為實數，d≠0且d≠-1，數列{a_n}中a₁=d，當n≥2時，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，數列{b_n}對任何正整數n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
（Ⅰ）證明數列{a_n}為等比數列；
（Ⅱ）判斷數列{b_n}是否是等差數列，若是請求出通項公式；若不是，說明理由．
（Ⅲ）若d=1，c_n=

3bn-1

3bn-2

，證明：c₁c₂…c_n＞

3	3n+1

．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質,等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）n≥2時，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，=d（1+d）^n-1，因為d≠0且d≠-1，∴a_n≠0，所以{a_n}是以d為首項，d+1為公比的等比數列；
（Ⅱ）因為對任何正整數n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2，所以對任何正整數n，n≥2時，a_n-1b₁+a_n-2b₂+a_n-3b₃+…a₂b_n-2+a₁b_n-1=2ⁿ-n-1，
對任何正整數n，n≥2時，（2ⁿ-n-1）（1+d）+dbn=2n+1-n-2，可推得對任何正整數n，bn=

1-d

d

×2n+n+

d-1

d

，bn+1-bn=

1-d

d

•2n+1，然后分d=1和d≠1兩種情況，討論數列{b_n}是不是等差數列．
（Ⅲ）由Ⅱ知，當d=1時，b_n=n，cn=

3n-1

3n-2

，逐步推得

3n-1

3n-2

＞

3	3n+1 3n-2

，所以c₁c₂…c_n＞

3	4 1

3	7 4

3	10 7

…

3	3n+1 3n-2

=

3	3n+1

成立．

解答： 證明：（Ⅰ）n≥2時，a_n=

C

0 n-1

d+

C

1 n-1

d²+…+

C

n-2 n-1

d^n-1+

C

n-1 n-1

dⁿ，=d（1+d）^n-1，
∵a₁=d吻合上式，∴a_n=d（1+d）^n-1，
∵d≠0且d≠-1，∴a_n≠0，
所以{a_n}是以d為首項，d+1為公比的等比數列；
（Ⅱ）因為對任何正整數n都有：a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…a₂b_n-1+a₁b_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
所以對任何正整數n，n≥2時，a_n-1b₁+a_n-2b₂+a_n-3b₃+…a₂b_n-2+a₁b_n-1=2ⁿ-n-1，
對任何正整數n，n≥2時，（2ⁿ-n-1）（1+d）+dbn=2n+1-n-2，
bn=

1-d

d

×2n+n+

d-1

d

（n≥2），
又db1=22-1-2=1，b1=

1

d

吻合上式，
∴對任何正整數n，bn=

1-d

d

×2n+n+

d-1

d

，
bn+1-bn=

1-d

d

•2n+1，
當d=1時，數列{b_n}是等差數列，其通項公式是b_n=n；
當d≠1時，數列{b_n}不是等差數列．
（Ⅲ）由Ⅱ知，當d=1時，b_n=n，cn=

3n-1

3n-2

，
∴

3n-1

3n-2

＞

3n

3n-1

＞

3n+1

3n

＞0，
∴(

3n-1

3n-2

)3＞

3n+1

3n-2

，
即

3n-1

3n-2

＞

3	3n+1 3n-2

，
∴c₁c₂…c_n＞

3	4 1

3	7 4

3	10 7

…

3	3n+1 3n-2

=

3	3n+1

．

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的性質，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，考查了分類討論思想的運用，屬于中檔題．