Question

某大型公益活動從一所名牌大學的四個學院中選出了18名學生作為志愿者，參加相關的活動事宜．學生來源人數如下表：

學院	外語學院	生命科學學院	化工學院	藝術學院
人數	4	6	3	5

（Ⅰ）若從這18名學生中隨機選出兩名，求兩名學生來自同一學院的概率；
（Ⅱ）現要從這18名學生中隨機選出兩名學生向觀眾宣講此次公益活動的主題．設其中來自外語學院的人數為ξ，令η=2ξ+1，求隨機變量η的分布列及數學期望E（η）．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出兩名學生來自同一學院的概率．
（Ⅱ） ξ的可能取值是0，1，2，對應的η可能的取值為1，3，5，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量η的分布列及數學期望E（η）．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設“兩名學生來自同一學院”為事件A，
則P(A)=

C 2 4 + C 2 6 + C 2 3 + C 2 5

C 2 18

=

2

9

即兩名學生來自同一學院的概率為

2

9

．…（4分）
（Ⅱ） ξ的可能取值是0，1，2，對應的η可能的取值為1，3，5，
P(η=1)=P(ξ=0)=

C 2 14

C 2 18

=

91

153

，
P(η=3)=P(ξ=1)=

C 1 4 C 1 14

C 2 18

=

56

153

，
P(η=5)=P(ξ=2)=

C 2 4

C 2 18

=

2

51

，…（10分）
所以η的分布列為

η	1	3	5
P	91 153	56 153	2 51

…（11分）
所以E(η)=1×

91

153

+3×

56

153

+5×

2

51

=

17

9

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．