Question

設f（x）=

2x+4

4x+8

，求證：對任意實數(shù)a，b，不等式f（a）＜b²-3b+

21

4

恒成立．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：求出f（a）的最大值，b²-3b+

21

4

的最小值，即可證明．

解答： 證明：f（x）=

2x+4

4x+8

=

16

2x+ 8 2x

≤

16

4 2

=2

2

，當且僅當2^x=

8

2x

時，即x=

3

2

時，等號成立
∴f（x）的最大值為2

2

，
∴f（a）的最大值為2

2

∵b²-3b+

21

4

=(b-

3

2

)2+3，∴當b=

3

2

時，b²-3b+

21

4

有最小值3，
∴對任意實數(shù)a，b都有f（a）＜b²-3b+

21

4

．

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應用，考查不等式的證明，正確求最值是關鍵．