Question

如圖，在圓內(nèi)畫1條線段，將圓分割成兩部分；畫2條相交線段，將圓分割成4部分；畫3條線段，將圓最多分割成7部分；畫4條線段，將圓最多分割成11部分．

（1）記在圓內(nèi)畫n條線段，將圓最多分割成a_n部分，歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n+1與a_n的關(guān)系及數(shù)列的知識(shí)，證明你的猜想是否成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：推理和證明

分析：（1）由題意可得 a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，再由a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，歸納可得結(jié)論（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

n2+n+2

2

，n∈N，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

解答： 解：（1）由題意可得 a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，
顯然 a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，歸納可得 a_n+1 -a_n=n+1．
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

n2+n+2

2

，n∈N．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a_n=

n2+n+2

2

成立，
②假設(shè) a_k=

k2+k+2

2

，再根據(jù)a_k+1 -a_k=k+1，
可得a_k+1=a_k+k+1=

k2+k+2

2

+k+1=

k2+3k+4

2

=

(k+1)2+(k+1)+2

2

，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，a_n=

n2+n+2

2

，n∈N 仍然成立．
結(jié)合①②可得，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

n2+n+2

2

，n∈N．

點(diǎn)評：本題主要考查不完全歸納法的應(yīng)用，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，屬于中檔題．