Question

【題目】定義域為{x|x≠0}的函數f（x）滿足：f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0且在區間（0，+∞）上單調遞增，若m滿足f（log3m）+f（ ）≤2f（1），則實數m的取值范圍是（ ）
A.[ ，1）∪（1，3]
B.[0， ）∪（1，3]
C.（0， ]
D.[1，3]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0則令x=y=1可得f（1）=f2（1），即有f（1）=1．
令x=y=﹣1，則f（1）=f2（﹣1）=1，則f（﹣1）=1．
令y=﹣1，則f（﹣x）=f（x）f（﹣1）=f（x），即有f（x）為偶函數．
由f（log3m）+f（ ）≤2f（1），可得 f（log3m）+f（﹣log3m）≤2f（1），
即2f（log3m）≤2f（1），即 f（|log3m|）≤f（1），
由于f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，則|log3m|≤1，且log3m≠0，
解得 ≤m＜1或1＜m≤3．
故選：A．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．