Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】【試題分析】(1)求出函數(shù)的定義域,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后,對(duì)分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)傾斜角為,斜率為,根據(jù)斜率為可求得的值.化簡(jiǎn)的表達(dá)式,求出的導(dǎo)數(shù),將函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)的問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)問題來求解.

【試題解析】

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝.

當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，＋∞)；

當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0,1)；

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不是單調(diào)函數(shù)．

(2)由(1)及題意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，

∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.

∴g(x)＝x3＋x2－2x，

∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.

∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，

即g′(x)＝0在區(qū)間(t,3)上有變號(hào)零點(diǎn)．由于g′(0)＝－2，

∴

當(dāng)g′(t)＜0，即3t2＋(m＋4)t－2＜0對(duì)任意t∈[1,2]恒成立，

由于g′(0)＜0，故只要g′(1)＜0且g′(2)＜0，

即m＜－5且m＜－9，即m＜－9；

由g′(3)＞0，即m＞－.

所以－＜m＜－9.

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.