Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中， 平面，底面是菱形， ， ， ． 為與的交點， 為棱上一點,

（1）證明：平面⊥平面；

（2）若三棱錐的體積為，

求證： ∥平面．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) 見解析

【解析】試題分析：（1）要證明平面⊥平面，由面面垂直的判定定理知需在平面平面內找到一條直線垂直于另一個平面,通過分析后易知AC⊥平面PBD，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）由VP﹣EAD，需作出三棱錐的高，為此通過觀察分析后，我們取AD中點H，連結BH，PH，在△PBH中，經點E作EF∥BH，交PH于點F,易證BH⊥平面PAD，再由EF∥BH，可得EF⊥平面PAD，故EF為三棱錐的高，

再由VP﹣EAD，可求出EF的值，又由∠BAD=60°，BH⊥AD，可求出BH的值，至此易知，即E為PB中點，而O為BD中點，所以OE為△PBD的中位線，由三角形中位線性質可得OE∥PD，再由線面平行判定定理PD∥平面EAC．

試題解析：

證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，

∴AC⊥平面PBD，

又∵AC平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB．

（2）取AD中點H，連結BH，PH，在△PBH中，經點E作EF∥BH，交PH于點F，

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，

∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，

可得：BH=AB=，

∴VP﹣EAD=VE﹣PAD=SPAD×EF=

，

∴EF=，

∴，可得E為PB中點，

又∵O為BD中點，

∴OE∥PD，

∵PD平面EAC，OE平面EAC，

∴PD∥平面EAC．