Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²-lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間[1，e]的最小值為1，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）討論（1）當a=0時，（2）當a＜0時（3）當a＞0時，①當x∈（0，

1 a

）時，②當x∈（

1 a

，+∞）時的情況，從而得出當a＞0時，函數f（x）的單調減區間是（0，

1 a

），單調增區間為（

1 a

，+∞）．
（Ⅱ）討論（1）當a≤0時，（2）當a＞0時，①當

1 a

≤1，②當1＜

1 a

＜e，③當

1 a

≥e情況，從而得出a=2．

解答： 解：函數f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=

ax2-1

x

，
（Ⅰ）（1）當a=0時，f′（x）=-

1

x

＜0，
故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
（2）當a＜0時，f′（x）＜0恒成立，
所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減．
（3）當a＞0時，令f′（x）=0，又因為x＞0，解得x=

1 a

．
①當x∈（0，

1 a

）時，f′（x）＜0，
所以函數f（x）在（0，

1 a

）單調遞減．
②當x∈（

1 a

，+∞）時，f′（x）＞0，
所以函數f（x）在（

1 a

，+∞）單調遞增．
綜上所述，當a≤0時，函數f（x）的單調減區間是（0，+∞），
當a＞0時，函數f（x）的單調減區間是（0，

1 a

），單調增區間為（

1 a

，+∞）．
（Ⅱ）（1）當a≤0時，由（Ⅰ）可知，f（x）在[1，e]上單調遞減，
所以f（x）的最小值為f（e）=1，解得a=

4

e2

＞0，舍去．
（2）當a＞0時，由（Ⅰ）可知，
①當

1 a

≤1，即a≥1時，函數f（x）在[1，e]上單調遞增，
所以函數f（x）的最小值為f（1）=

1

2

a=1，解得a=2．
②當1＜

1 a

＜e，即

1

e2

＜a＜1時，
函數f（x）在（1，

1 a

）上單調遞減，在（

1 a

，e）上單調遞增，
所以函數f（x）的最小值為f（

1 a

）=

1

2

+

1

2

lna=1，
解得a=e，舍去．
③當

1 a

≥e，即0＜a≤

1

e2

時，函數f（x）在[1，e]上單調遞減，
所以函數f（x）的最小值為f（e）=

1

2

ae²-1=1，
得a=

4

e2

，舍去．
綜上所述，a=2．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查參數的取值，導數的應用，是一道綜合題．