Question

【題目】已知?jiǎng)又本�垂直于軸，與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線與橢圓相交于，與曲線相切于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)求得點(diǎn)的軌跡方程.

（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求得.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，代入方程，利用判別式為零列出關(guān)系.將代入方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，計(jì)算出的表達(dá)式，并利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍.

（1）設(shè)，則由題知，，

,，

由在橢圓上，得，所以，

故點(diǎn)的軌跡的方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，為的左（或右）頂點(diǎn)，也是的左（或右）焦點(diǎn)，所以；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為,

，，

，所以，

，

令，，，

所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值；綜上：的取值范圍為.