Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.

(1)求證：AD⊥平面BFED；

(2)點P在線段EF上運動，設平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）θ最小值為60°

【解析】

（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再結合面面垂直的判定，證得DE⊥平面ABCD，即可證得AD⊥平面BFED；

（2）以D為原點，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面PAB與平面ADE法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．

（1）證明：在梯形ABCD中，

∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.

∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos 60°＝3.

∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.

∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，

DE平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，

∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.

（1）由(1)知，直線AD，BD，ED兩兩垂直，故以D為原點，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

令EP＝λ(0≤λ≤)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，

所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．

設n1＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，

由得，取y＝1，則n1＝(，1，－λ)．

因為n2＝(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，

所以cos θ＝＝＝.

因為0≤λ≤，所以當λ＝時，cos θ有最大值，所以θ的最小值為60°.