Question

【題目】如圖，一個角形海灣（常數為銳角）．擬用長度為（為常數）的圍網圍成一個養殖區，有以下兩種方案可供選擇：方案一：如圖1，圍成扇形養殖區，其中；方案二：如圖2，圍成三角形養殖區，其中.

（1）求方案一中養殖區的面積；

（2）求方案二中養殖區的最大面積（用表示）；

（3）為使養殖區的面積最大，應選擇何種方案？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）應選擇方案一．

【解析】

（1）設此扇形所在的圓的半徑為，則，可得．利用扇形面積計算公式可得．

（2）設，，利用余弦定理與基本不等式的性質可得：，可得：，即可得出．

（3）由于，令，求導，可得在上單調遞增．即可得出結論．

（1）設，則，即，所以

．

（2）設．由余弦定理，得，所以

．

所以，當且僅當時等號成立．

所以，即．

（3），

令，則．

當時，，所以在區間上單調遞增．

所以，當時，總有，即，即．

答：為使養殖區面積最大，應選擇方案一．