Question

【題目】選做題：幾何證明選講 如圖，ABCD是邊長為a的正方形，以D為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點F，延長CF交AB于E．

（1）求證：E是AB的中點；
（2）求線段BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DF，DO，則∠CDO=∠FDO，

因為BC是的切線，且CF是圓D的弦，

所以 ，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以 ．

所以E是AB的中點

（2）解：連接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，

得 ，

∵ABCD是邊長為a的正方形，

所以

【解析】（1）根據∠CDO=∠FDO，BC是的切線，且CF是圓D的弦，得到 ，即∠CDO=∠BCE，得到兩個三角形全等，得到線段相等，得到結論．（2）根據兩個角對應相等，得到兩個三角形相似，得到對應邊成比例，根據所給的長度，代入比例式，得到要求的線段．