Question

【題目】已知函數

（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；

（2）若恒成立，求b-a的最小值.

Answer 1

【答案】(1)f（x）的單調增區間為（e，+∞），減區間為（0，e）;(2).

【解析】分析：（Ⅰ）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（Ⅱ）由題意得，可得函數單調增區間為，減區間為，即恒成立，，即，構造函數，利用導數研究函數的單調性可得，即可得的最小值.

詳解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．

f′（x）=（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）=0，得x=e．

x∈（0，e）時，f′（x）＜0，∈（e，+∞）時，f′（x）＞0．

函數f（x）的單調增區間為（e，+∞），減區間為（0，e）；

（Ⅱ）由題意得f′（x）=（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．

令f′（x）=0，得x=ea．x∈（0，e a）時，f′（x）＜0，∈（ea ，+∞）時，f′（x）＞0．

函數f（x）的單調增區間為（ea，+∞），減區間為（0，ea）

∴f（x）min=f（ea）=﹣e2a﹣ea+b，

∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）=﹣e2a﹣ea+b≥0，則b≥e2a+ea．∴b﹣a≥e2a+ea﹣a

令ea=t，（t＞0），∴e2a+ea﹣a=t2+t﹣lnt，設g（t）=t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）=．

當t∈（0，）時，g′（t）＜0，當時，g′（t）＞0．

∴g（t）在（0，）上遞減，在（，+∞）遞增．

∴g（t）min=g（）=．f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值為．