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O為坐標原點，平面內的向量

=（1，7），

=（5，1），

=（6，3），點P（x，y）是線段OM上的一個動點．
（1）求x-2y的值；
（2）求

•

的取值范圍；
（3）當

•

取最小值時，求∠APB的余弦值．

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）利用向量共線定理即可得出；
（2）利用數量積的坐標運算和二次函數的單調性即可得出；
（3）由（1）（2）即可得出．

解答： 解：（1）∵點P在線段OM上，∴

與

共線，
而

=(6，3)，

=(x，y)，
則3x=6y，∴x-2y=0．
（2）由（1）知

=(2y，y)，
∵

=(1-2y，7-y)，

=(5-2y，1-y)，
∴

•

=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8．
∵點P在線段OM上，∴y∈[0，3]，
∴當y=2時

•

有最小值-8，當y=0時

•

有最大值12，
即

•

的取值范圍為[-8，12]
（3）由（1）可知當y=2，x=4時

•

有最小值-8，此時P（4，2），
∴

=(-3，5)，

=(1，-1)．
∴

•

=-3-5=-8，|

，|

．
∴

•

|cos∠APB，
∴cos∠APB=

-8

．

點評：本題考查了向量共線定理、數量積的坐標運算和二次函數的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題．

練習冊系列答案

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sin(π-α)tan(-α-π)

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3π

）=-

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